উচ্চতর গণিত ২য় পত্র - ৪র্থ অধ্যায়: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
বিগত ১০ বছরের এইচএসসি বোর্ড পরীক্ষার সম্পূর্ণ ‘খ’ এবং ‘গ’ ভিত্তিক ২৩টি গাণিতিক প্রশ্নের পূর্ণাঙ্গ সমাধান
সাধারণ সূত্রাবলী:
১. \( ax^{2}+bx+c=0 \) দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \) হলে:
\( \alpha+\beta = -\frac{b}{a} \), \( \alpha\beta = \frac{c}{a} \) এবং নিশ্চায়ক \( \Delta = b^{2}-4ac \)
২. \( px^{3}+qx^{2}+rx+s=0 \) ত্রিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha, \beta, \gamma \) হলে:
\( \alpha+\beta+\gamma = -\frac{q}{p} \), \( \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{r}{p} \), \( \alpha\beta\gamma = -\frac{s}{p} \)
টাইপ ১: দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি, নিশ্চায়ক ও সহগের সম্পর্ক
ঢাকা ২০২৩ | সিলেট ২০২১ | দিনাজপুর ১৭
উদ্দীপক: \( f(x)=(a+b-c)x^{2}+2bx+(b+c-a) \)
[খ] \( a, b, c \) মূলদ হলে প্রমাণ করো যে \( f(x)=0 \) সমীকরণের মূলগুলো সর্বদা মূলদ হবে।
প্রমাণ:
সমীকরণটির সহগসমূহ \( A = a+b-c \), \( B = 2b \), \( C = b+c-a \)
নিশ্চায়ক, \( \Delta = B^{2}-4AC = (2b)^{2}-4(a+b-c)(b+c-a) \)
\( = 4b^{2}-4[b+(a-c)][b-(a-c)] \)
\( = 4b^{2}-4[b^{2}-(a-c)^{2}] \)
\( = 4(a-c)^{2} = [2(a-c)]^{2} \)
যেহেতু \( a, b, c \) মূলদ, তাই \( 2(a-c) \) মূলদ এবং নিশ্চায়ক একটি মূলদ সংখ্যার পূর্ণবর্গ।
অতএব, মূলগুলো সর্বদা মূলদ হবে। (প্রমাণিত)
সমীকরণটির সহগসমূহ \( A = a+b-c \), \( B = 2b \), \( C = b+c-a \)
নিশ্চায়ক, \( \Delta = B^{2}-4AC = (2b)^{2}-4(a+b-c)(b+c-a) \)
\( = 4b^{2}-4[b+(a-c)][b-(a-c)] \)
\( = 4b^{2}-4[b^{2}-(a-c)^{2}] \)
\( = 4(a-c)^{2} = [2(a-c)]^{2} \)
যেহেতু \( a, b, c \) মূলদ, তাই \( 2(a-c) \) মূলদ এবং নিশ্চায়ক একটি মূলদ সংখ্যার পূর্ণবর্গ।
অতএব, মূলগুলো সর্বদা মূলদ হবে। (প্রমাণিত)
রাজশাহী ২০২৩ | কুমিল্লা ২২ | বরিশাল ১৯
[খ] প্রমাণ করো যে \( (x-a)(x-b)=c^{2} \) সমীকরণের মূলদ্বয় সর্বদা বাস্তব। \( c \) এর মান কত হলে মূলদ্বয় সমান হবে?
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \( x^{2}-(a+b)x+ab-c^{2}=0 \)
নিশ্চায়ক \( \Delta = (a+b)^{2}-4(1)(ab-c^{2}) = (a-b)^{2}+4c^{2} \)
যেহেতু \( a, b, c \) বাস্তব, তাই \( (a-b)^{2} \ge 0 \) এবং \( 4c^{2} \ge 0 \); ফলে \( \Delta \ge 0 \)।
অতএব, মূলদ্বয় সর্বদা বাস্তব।
মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত \( \Delta = 0 \):
\( (a-b)^{2}+4c^{2}=0 \implies (a-b)^{2}=0 \) এবং \( 4c^{2}=0 \)
অতএব, \( c=0 \) (এবং একই সাথে \( a=b \))।
প্রদত্ত সমীকরণ: \( x^{2}-(a+b)x+ab-c^{2}=0 \)
নিশ্চায়ক \( \Delta = (a+b)^{2}-4(1)(ab-c^{2}) = (a-b)^{2}+4c^{2} \)
যেহেতু \( a, b, c \) বাস্তব, তাই \( (a-b)^{2} \ge 0 \) এবং \( 4c^{2} \ge 0 \); ফলে \( \Delta \ge 0 \)।
অতএব, মূলদ্বয় সর্বদা বাস্তব।
মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত \( \Delta = 0 \):
\( (a-b)^{2}+4c^{2}=0 \implies (a-b)^{2}=0 \) এবং \( 4c^{2}=0 \)
অতএব, \( c=0 \) (এবং একই সাথে \( a=b \))।
চট্টগ্রাম ২২ | যশোর ২১ | রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ
উদ্দীপক: \( P(x)=(2k+1)x^{2}+2(k+3)x+(2k+5) \)
[গ] \( k \) এর মান কত হলে \( P(x) \) একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে এবং সে ক্ষেত্রে \( P(x)=0 \) এর মূলদ্বয় নির্ণয় করো।
সমাধান:
\( P(x) \) পূর্ণবর্গ হবে যখন নিশ্চায়ক \( \Delta = 0 \) হয়:
\( 4(k+3)^{2}-4(2k+1)(2k+5) = 0 \)
\( \implies k^{2}+6k+9 = 4k^{2}+12k+5 \implies 3k^{2}+6k-4=0 \)
\( k = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 48}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3} \)
\( \Delta = 0 \) হলে মূলদ্বয় সমান এবং মূল \( x = -\frac{B}{2A} = -\frac{k+3}{2k+1} \)
(i) \( k = \frac{-3+\sqrt{21}}{3} \) হলে, মূলদ্বয়: \( x = -\frac{4+\sqrt{21}}{5}, -\frac{4+\sqrt{21}}{5} \)
(ii) \( k = \frac{-3-\sqrt{21}}{3} \) হলে, মূলদ্বয়: \( x = \frac{\sqrt{21}-4}{5}, \frac{\sqrt{21}-4}{5} \)
\( P(x) \) পূর্ণবর্গ হবে যখন নিশ্চায়ক \( \Delta = 0 \) হয়:
\( 4(k+3)^{2}-4(2k+1)(2k+5) = 0 \)
\( \implies k^{2}+6k+9 = 4k^{2}+12k+5 \implies 3k^{2}+6k-4=0 \)
\( k = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 48}}{6} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{3} \)
\( \Delta = 0 \) হলে মূলদ্বয় সমান এবং মূল \( x = -\frac{B}{2A} = -\frac{k+3}{2k+1} \)
(i) \( k = \frac{-3+\sqrt{21}}{3} \) হলে, মূলদ্বয়: \( x = -\frac{4+\sqrt{21}}{5}, -\frac{4+\sqrt{21}}{5} \)
(ii) \( k = \frac{-3-\sqrt{21}}{3} \) হলে, মূলদ্বয়: \( x = \frac{\sqrt{21}-4}{5}, \frac{\sqrt{21}-4}{5} \)
ময়মনসিংহ ২৩ | কুমিল্লা ১৭
[খ] \( a, b, c \) বাস্তব এবং \( a+b+c=0 \) হলে, দেখাও যে \( bc\,x^{2}+ca\,x+ab=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
সমাধান:
নিশ্চায়ক \( \Delta = (ca)^{2}-4(bc)(ab) = ac(ac-4b^{2}) \)
\( a+b+c=0 \implies b = -(a+c) \implies b^{2}=(a+c)^{2} \)
\( ac-4b^{2} = ac-4(a+c)^{2} = -(4a^{2}+7ac+4c^{2}) \)
\( \Delta = -ac(4a^{2}+7ac+4c^{2}) \)
যেহেতু \( 4a^{2}+7ac+4c^{2} = 4(a+\frac{7}{8}c)^{2}+\frac{15}{16}c^{2} > 0 \), মূলদ্বয় কেবল \( ac < 0 \) হলেই বাস্তব ও অসমান হবে।
নিশ্চায়ক \( \Delta = (ca)^{2}-4(bc)(ab) = ac(ac-4b^{2}) \)
\( a+b+c=0 \implies b = -(a+c) \implies b^{2}=(a+c)^{2} \)
\( ac-4b^{2} = ac-4(a+c)^{2} = -(4a^{2}+7ac+4c^{2}) \)
\( \Delta = -ac(4a^{2}+7ac+4c^{2}) \)
যেহেতু \( 4a^{2}+7ac+4c^{2} = 4(a+\frac{7}{8}c)^{2}+\frac{15}{16}c^{2} > 0 \), মূলদ্বয় কেবল \( ac < 0 \) হলেই বাস্তব ও অসমান হবে।
নোট: মূল প্রশ্নপত্রে প্রশ্নটিতে শর্তগত কিছুটা ছাপার ভুল থাকতে পারে, সাধারণ অবস্থায় \( ac < 0 \) প্রযোজ্য।
টাইপ ২: মূলদ্বয়ের অনুপাত, বর্গ ও বিশেষ বীজগাণিতিক সম্পর্ক
ঢাকা ২২ | বরিশাল ২৩ | চট্টগ্রাম ১৯ | সিলেট ১৫
উদ্দীপক: \( f(x)=ax^{2}+bx+c \)
[খ] \( f(x)=0 \) এর মূলদ্বয়ের অনুপাত \( m:n \) হলে প্রমাণ করো যে \( \sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}}+\frac{b}{\sqrt{ac}}=0 \)
প্রমাণ:
ধরি, মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \)। অতএব \( \frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n} \), \( \alpha+\beta = -\frac{b}{a} \), \( \alpha\beta = \frac{c}{a} \)
বামপক্ষ \( = \sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha\beta}} = \frac{-\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\frac{b}{\sqrt{ac}} \)
\( \implies \sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}}+\frac{b}{\sqrt{ac}} = 0 \) (প্রমাণিত)
ধরি, মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \)। অতএব \( \frac{\alpha}{\beta} = \frac{m}{n} \), \( \alpha+\beta = -\frac{b}{a} \), \( \alpha\beta = \frac{c}{a} \)
বামপক্ষ \( = \sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} = \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha\beta}} = \frac{-\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{c}{a}}} = -\frac{b}{\sqrt{ac}} \)
\( \implies \sqrt{\frac{m}{n}}+\sqrt{\frac{n}{m}}+\frac{b}{\sqrt{ac}} = 0 \) (প্রমাণিত)
রাজশাহী ২২ | যশোর ২৩ | দিনাজপুর ১৯
উদ্দীপক: \( g(x)=px^{2}+qx+q \)
[গ] \( g(x)=0 \) এর মূলদ্বয়ের অনুপাত \( p:q \) হলে প্রমাণ করো যে \( \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{q}{p}}=0 \)
প্রমাণ:
মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \) হলে \( \alpha+\beta = -\frac{q}{p} \), \( \alpha\beta = \frac{q}{p} \)
\( \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}} = \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha\beta}} = \frac{-\frac{q}{p}}{\sqrt{\frac{q}{p}}} = -\sqrt{\frac{q}{p}} \)
\( \implies \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{q}{p}} = 0 \) (প্রমাণিত)
মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \) হলে \( \alpha+\beta = -\frac{q}{p} \), \( \alpha\beta = \frac{q}{p} \)
\( \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}} = \frac{\alpha+\beta}{\sqrt{\alpha\beta}} = \frac{-\frac{q}{p}}{\sqrt{\frac{q}{p}}} = -\sqrt{\frac{q}{p}} \)
\( \implies \sqrt{\frac{p}{q}}+\sqrt{\frac{q}{p}}+\sqrt{\frac{q}{p}} = 0 \) (প্রমাণিত)
কুমিল্লা ২৩ | চট্টগ্রাম ২১ | রাজশাহী ১৫
উদ্দীপক: \( x^{2}+px+q=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha \) এবং \( \beta \)।
[গ] সমীকরণটির একটি মূল অপরটির বর্গ হলে প্রমাণ করো যে \( p^{3}-q(3p-1)+q^{2}=0 \)
প্রমাণ:
ধরি, মূলদ্বয় \( \alpha \) এবং \( \alpha^{2} \)।
১. \( \alpha+\alpha^{2} = -p \) ... (i)
২. \( \alpha \cdot \alpha^{2} = \alpha^{3} = q \) ... (ii)
(i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে ঘন করে:
\( (\alpha+\alpha^{2})^{3} = -p^{3} \implies \alpha^{3}+\alpha^{6}+3\alpha^{3}(\alpha+\alpha^{2}) = -p^{3} \)
\( \implies q + q^{2} + 3q(-p) = -p^{3} \)
\( \implies p^{3}-q(3p-1)+q^{2}=0 \) (প্রমাণিত)
ধরি, মূলদ্বয় \( \alpha \) এবং \( \alpha^{2} \)।
১. \( \alpha+\alpha^{2} = -p \) ... (i)
২. \( \alpha \cdot \alpha^{2} = \alpha^{3} = q \) ... (ii)
(i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে ঘন করে:
\( (\alpha+\alpha^{2})^{3} = -p^{3} \implies \alpha^{3}+\alpha^{6}+3\alpha^{3}(\alpha+\alpha^{2}) = -p^{3} \)
\( \implies q + q^{2} + 3q(-p) = -p^{3} \)
\( \implies p^{3}-q(3p-1)+q^{2}=0 \) (প্রমাণিত)
দিনাজপুর ২৩ | ঢাকা ১৭
[খ] \( ax^{2}+bx+c=0 \) সমীকরণের একটি মূল অপরটির \( n \) গুণ হলে দেখাও যে \( nb^{2}=ac(1+n)^{2} \)
প্রমাণ:
ধরি, মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( n\alpha \)।
\( (1+n)\alpha = -\frac{b}{a} \) ... (i)
\( n\alpha^{2} = \frac{c}{a} \) ... (ii)
(i) এর বর্গকে (ii) দ্বারা ভাগ করে:
\( \frac{(1+n)^{2}\alpha^{2}}{n\alpha^{2}} = \frac{b^{2}/a^{2}}{c/a} \implies \frac{(1+n)^{2}}{n} = \frac{b^{2}}{ac} \implies nb^{2}=ac(1+n)^{2} \) (প্রমাণিত)
ধরি, মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( n\alpha \)।
\( (1+n)\alpha = -\frac{b}{a} \) ... (i)
\( n\alpha^{2} = \frac{c}{a} \) ... (ii)
(i) এর বর্গকে (ii) দ্বারা ভাগ করে:
\( \frac{(1+n)^{2}\alpha^{2}}{n\alpha^{2}} = \frac{b^{2}/a^{2}}{c/a} \implies \frac{(1+n)^{2}}{n} = \frac{b^{2}}{ac} \implies nb^{2}=ac(1+n)^{2} \) (প্রমাণিত)
বরিশাল ২২ | সিলেট ১৯
উদ্দীপক: \( x^{2}-px+q=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \)।
[খ] মূলদ্বয়ের পার্থক্য 1 হলে প্রমাণ করো যে \( p^{2}-4q-1=0 \)
প্রমাণ:
\( \alpha+\beta=p \), \( \alpha\beta=q \) এবং দেওয়া আছে \( \alpha-\beta=1 \)
\( (\alpha-\beta)^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta \implies 1 = p^{2}-4q \implies p^{2}-4q-1=0 \) (প্রমাণিত)
\( \alpha+\beta=p \), \( \alpha\beta=q \) এবং দেওয়া আছে \( \alpha-\beta=1 \)
\( (\alpha-\beta)^{2} = (\alpha+\beta)^{2}-4\alpha\beta \implies 1 = p^{2}-4q \implies p^{2}-4q-1=0 \) (প্রমাণিত)
টাইপ ৩: সাধারণ মূল (Common Root) সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা
ঢাকা ২১ | যশোর ২২ | বরিশাল ১৭ | সকল বোর্ড ১৮
উদ্দীপক: \( x^{2}+px+q=0 \) এবং \( x^{2}+qx+p=0 \) দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ (\( p \neq q \))।
[খ] সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে \( p+q+1=0 \)
প্রমাণ: ধরি সাধারণ মূল \( \alpha \)।
\( \alpha^{2}+p\alpha+q=0 \) এবং \( \alpha^{2}+q\alpha+p=0 \)
বিয়োগ করে, \( (p-q)\alpha + (q-p) = 0 \implies (p-q)(\alpha-1) = 0 \)
যেহেতু \( p \neq q \), তাই \( \alpha = 1 \)।
প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই: \( 1^{2}+p(1)+q=0 \implies p+q+1=0 \) (প্রমাণিত)
\( \alpha^{2}+p\alpha+q=0 \) এবং \( \alpha^{2}+q\alpha+p=0 \)
বিয়োগ করে, \( (p-q)\alpha + (q-p) = 0 \implies (p-q)(\alpha-1) = 0 \)
যেহেতু \( p \neq q \), তাই \( \alpha = 1 \)।
প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই: \( 1^{2}+p(1)+q=0 \implies p+q+1=0 \) (প্রমাণিত)
[গ] দেখাও যে সমীকরণদ্বয়ের অপর মূল দুটি দ্বারা গঠিত সমীকরণটি হবে \( x^{2}+x+pq=0 \)
প্রমাণ: সাধারণ মূল 1। ১ম সমীকরণের অপর মূল \( \beta \) হলে \( 1 \cdot \beta = q \implies \beta = q \)।
২য় সমীকরণের অপর মূল \( \gamma \) হলে \( 1 \cdot \gamma = p \implies \gamma = p \)।
নতুন মূলদ্বয় \( p, q \)। মূলদ্বয়ের যোগফল \( p+q = -1 \) এবং গুণফল \( pq \)।
গঠিত সমীকরণ: \( x^{2}-(p+q)x+pq=0 \implies x^{2}+x+pq=0 \) (প্রমাণিত)
২য় সমীকরণের অপর মূল \( \gamma \) হলে \( 1 \cdot \gamma = p \implies \gamma = p \)।
নতুন মূলদ্বয় \( p, q \)। মূলদ্বয়ের যোগফল \( p+q = -1 \) এবং গুণফল \( pq \)।
গঠিত সমীকরণ: \( x^{2}-(p+q)x+pq=0 \implies x^{2}+x+pq=0 \) (প্রমাণিত)
চট্টগ্রাম ২৩ | দিনাজপুর ২১ | ময়মনসিংহ ১৯
উদ্দীপক: \( f(x)=ax^{2}+bx+c \) এবং \( g(x)=px^{2}+qx+r \)
[গ] \( f(x)=0 \) এবং \( g(x)=0 \) এর একটি মাত্র সাধারণ মূল থাকলে প্রমাণ করো \( (aq-bp)(br-cq)=(cp-ar)^{2} \)
প্রমাণ: ধরি সাধারণ মূল \( \alpha \)।
\( a\alpha^{2}+b\alpha+c=0 \) এবং \( p\alpha^{2}+q\alpha+r=0 \)
বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
\( \frac{\alpha^{2}}{br-cq} = \frac{\alpha}{cp-ar} = \frac{1}{aq-bp} \)
\( \alpha = \frac{cp-ar}{aq-bp} \) এবং \( \alpha^{2} = \frac{br-cq}{aq-bp} \)
মান বসিয়ে পাই: \( (\frac{cp-ar}{aq-bp})^{2} = \frac{br-cq}{aq-bp} \implies (cp-ar)^{2} = (aq-bp)(br-cq) \) (প্রমাণিত)
\( a\alpha^{2}+b\alpha+c=0 \) এবং \( p\alpha^{2}+q\alpha+r=0 \)
বজ্রগুণন পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
\( \frac{\alpha^{2}}{br-cq} = \frac{\alpha}{cp-ar} = \frac{1}{aq-bp} \)
\( \alpha = \frac{cp-ar}{aq-bp} \) এবং \( \alpha^{2} = \frac{br-cq}{aq-bp} \)
মান বসিয়ে পাই: \( (\frac{cp-ar}{aq-bp})^{2} = \frac{br-cq}{aq-bp} \implies (cp-ar)^{2} = (aq-bp)(br-cq) \) (প্রমাণিত)
রাজশাহী ২১ | সিলেট ২২ | কুমিল্লা ১৫
[খ] \( ax^{2}+bx+c=0 \) এবং \( cx^{2}+bx+a=0 \; (a \neq c) \) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে \( a+c=\pm b \)
প্রমাণ: ধরি সাধারণ মূল \( \alpha \)।
\( a\alpha^{2}+b\alpha+c=0 \) এবং \( c\alpha^{2}+b\alpha+a=0 \)
বিয়োগ করে: \( (a-c)\alpha^{2}-(a-c)=0 \implies (a-c)(\alpha^{2}-1)=0 \)
যেহেতু \( a \neq c \), তাই \( \alpha^{2}=1 \implies \alpha = \pm 1 \)
১. \( \alpha = 1 \implies a+b+c=0 \implies a+c = -b \)
২. \( \alpha = -1 \implies a-b+c=0 \implies a+c = b \)
অতএব, \( a+c=\pm b \) (প্রমাণিত)
\( a\alpha^{2}+b\alpha+c=0 \) এবং \( c\alpha^{2}+b\alpha+a=0 \)
বিয়োগ করে: \( (a-c)\alpha^{2}-(a-c)=0 \implies (a-c)(\alpha^{2}-1)=0 \)
যেহেতু \( a \neq c \), তাই \( \alpha^{2}=1 \implies \alpha = \pm 1 \)
১. \( \alpha = 1 \implies a+b+c=0 \implies a+c = -b \)
২. \( \alpha = -1 \implies a-b+c=0 \implies a+c = b \)
অতএব, \( a+c=\pm b \) (প্রমাণিত)
দিনাজপুর ২২ | ঢাকা ১৫
উদ্দীপক: \( f(x)=ax^{2}+bx+c \) এবং \( h(x)=cx^{2}+bx+a \)
[গ] \( f(x)=0 \) এর একটি মূল \( h(x)=0 \) এর একটি মূলের দ্বিগুণ হলে, প্রমাণ করো যে \( 2a=c \) অথবা \( (2a+c)^{2}=2b^{2} \)
সমাধান: ধরি \( h(x)=0 \) এর একটি মূল \( \beta \); তাহলে \( f(x)=0 \) এর একটি মূল \( 2\beta \)।
\( c\beta^{2}+b\beta+a=0 \) এবং \( 4a\beta^{2}+2b\beta+c=0 \)
সাধারণ মূলের সূত্রানুসারে বজ্রগুণন করে পাই:
\( 2b^{2}(2a-c)^{2} = (2a-c)^{2}(2a+c)^{2} \implies (2a-c)^{2}[2b^{2}-(2a+c)^{2}] = 0 \)
অতএব, \( 2a=c \) অথবা \( (2a+c)^{2}=2b^{2} \) (প্রমাণিত)
\( c\beta^{2}+b\beta+a=0 \) এবং \( 4a\beta^{2}+2b\beta+c=0 \)
সাধারণ মূলের সূত্রানুসারে বজ্রগুণন করে পাই:
\( 2b^{2}(2a-c)^{2} = (2a-c)^{2}(2a+c)^{2} \implies (2a-c)^{2}[2b^{2}-(2a+c)^{2}] = 0 \)
অতএব, \( 2a=c \) অথবা \( (2a+c)^{2}=2b^{2} \) (প্রমাণিত)
টাইপ ৪: নতুন সমীকরণ গঠন (Transformation of Equations)
ময়মনসিংহ ২২ | কুমিল্লা ২১ | চট্টগ্রাম ১৭
উদ্দীপক: \( ax^{2}+bx+c=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha \) এবং \( \beta \)।
[খ] \( \alpha+\frac{1}{\beta} \) এবং \( \beta+\frac{1}{\alpha} \) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
যোগফল \( S = (\alpha+\beta)(1+\frac{1}{\alpha\beta}) = -\frac{b(a+c)}{ac} \)
গুণফল \( P = \alpha\beta + 2 + \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{(a+c)^{2}}{ac} \)
নির্ণেয় সমীকরণ: \( x^{2}-Sx+P=0 \implies ac\,x^{2}+b(a+c)x+(a+c)^{2}=0 \)
যোগফল \( S = (\alpha+\beta)(1+\frac{1}{\alpha\beta}) = -\frac{b(a+c)}{ac} \)
গুণফল \( P = \alpha\beta + 2 + \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{(a+c)^{2}}{ac} \)
নির্ণেয় সমীকরণ: \( x^{2}-Sx+P=0 \implies ac\,x^{2}+b(a+c)x+(a+c)^{2}=0 \)
যশোর ১৯ | সিলেট ২৩
উদ্দীপক: \( 2x^{2}-5x+3=0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( \beta \)।
[গ] \( \alpha^{3} \) এবং \( \beta^{3} \) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
\( \alpha+\beta = \frac{5}{2} \), \( \alpha\beta = \frac{3}{2} \)
\( \alpha^{3}+\beta^{3} = (\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \frac{125}{8} - \frac{45}{4} = \frac{35}{8} \)
\( \alpha^{3}\beta^{3} = (\alpha\beta)^{3} = \frac{27}{8} \)
নির্ণেয় সমীকরণ: \( x^{2}-\frac{35}{8}x+\frac{27}{8}=0 \implies 8x^{2}-35x+27=0 \)
\( \alpha+\beta = \frac{5}{2} \), \( \alpha\beta = \frac{3}{2} \)
\( \alpha^{3}+\beta^{3} = (\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) = \frac{125}{8} - \frac{45}{4} = \frac{35}{8} \)
\( \alpha^{3}\beta^{3} = (\alpha\beta)^{3} = \frac{27}{8} \)
নির্ণেয় সমীকরণ: \( x^{2}-\frac{35}{8}x+\frac{27}{8}=0 \implies 8x^{2}-35x+27=0 \)
রাজশাহী ১৯ | বরিশাল ২১
উদ্দীপক: \( x^{2}-px+q=0 \) এর মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \)।
[খ] \( (\alpha+\beta)^{2} \) এবং \( (\alpha-\beta)^{2} \) মূল বিশিষ্ট নতুন দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করো।
সমাধান:
\( (\alpha+\beta)^{2} = p^{2} \), \( (\alpha-\beta)^{2} = p^{2}-4q \)
মূলদ্বয়ের যোগফল \( = p^{2} + (p^{2}-4q) = 2p^{2}-4q \)
মূলদ্বয়ের গুণফল \( = p^{2}(p^{2}-4q) \)
নির্ণেয় সমীকরণ: \( x^{2}-(2p^{2}-4q)x+p^{2}(p^{2}-4q)=0 \)
\( (\alpha+\beta)^{2} = p^{2} \), \( (\alpha-\beta)^{2} = p^{2}-4q \)
মূলদ্বয়ের যোগফল \( = p^{2} + (p^{2}-4q) = 2p^{2}-4q \)
মূলদ্বয়ের গুণফল \( = p^{2}(p^{2}-4q) \)
নির্ণেয় সমীকরণ: \( x^{2}-(2p^{2}-4q)x+p^{2}(p^{2}-4q)=0 \)
টাইপ ৫: ত্রিঘাত ও চতুর্ঘাত সমীকরণ এবং জটিল/অমূলদ মূল
ঢাকা ২৩ | রাজশাহী ২২ | চট্টগ্রাম ১৫
উদ্দীপক: \( P(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r \)
[গ] \( P(x)=0 \) এর মূলগুলো সমান্তর প্রগমনে থাকলে প্রমাণ করো যে \( 2p^{3}-9pq+27r=0 \)
প্রমাণ: ধরি মূল তিনটি \( a-d, a, a+d \)।
যোগফল: \( 3a = p \implies a = \frac{p}{3} \)
যেহেতু \( a \) একটি মূল, তাই \( P(\frac{p}{3}) = 0 \):
\( (\frac{p}{3})^{3} - p(\frac{p}{3})^{2} + q(\frac{p}{3}) - r = 0 \)
\( \implies \frac{p^{3}}{27} - \frac{p^{3}}{9} + \frac{pq}{3} - r = 0 \)
২৭ দিয়ে গুণ করে: \( 2p^{3}-9pq+27r=0 \) (প্রমাণিত)
যোগফল: \( 3a = p \implies a = \frac{p}{3} \)
যেহেতু \( a \) একটি মূল, তাই \( P(\frac{p}{3}) = 0 \):
\( (\frac{p}{3})^{3} - p(\frac{p}{3})^{2} + q(\frac{p}{3}) - r = 0 \)
\( \implies \frac{p^{3}}{27} - \frac{p^{3}}{9} + \frac{pq}{3} - r = 0 \)
২৭ দিয়ে গুণ করে: \( 2p^{3}-9pq+27r=0 \) (প্রমাণিত)
কুমিল্লা ২২ | বরিশাল ২৩ | সিলেট ১৭
উদ্দীপক: \( f(x)=2x^{3}-px^{2}+qx-r \)
[গ] \( f(x)=0 \) এর দুটি মূলের যোগফল শূন্য হলে প্রমাণ করো যে \( pq=2r \)
প্রমাণ: ধরি মূলগুলো \( \alpha, -\alpha, \gamma \)।
যোগফল: \( \gamma = \frac{p}{2} \)
দুইটির গুণফলের যোগফল: \( -\alpha^{2} = \frac{q}{2} \)
তিনটির গুণফল: \( -\alpha^{2}\gamma = \frac{r}{2} \)
মান বসিয়ে: \( (\frac{q}{2}) \cdot (\frac{p}{2}) = \frac{r}{2} \implies pq = 2r \) (প্রমাণিত)
যোগফল: \( \gamma = \frac{p}{2} \)
দুইটির গুণফলের যোগফল: \( -\alpha^{2} = \frac{q}{2} \)
তিনটির গুণফল: \( -\alpha^{2}\gamma = \frac{r}{2} \)
মান বসিয়ে: \( (\frac{q}{2}) \cdot (\frac{p}{2}) = \frac{r}{2} \implies pq = 2r \) (প্রমাণিত)
যশোর ২২ | দিনাজপুর ১৯
উদ্দীপক: \( x^{3}-12x^{2}+39x-28=0 \) একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
[গ] সমীকরণটির মূলগুলো সমান্তর প্রগমনে থাকলে মূল তিনটি নির্ণয় করো।
সমাধান: ধরি মূল তিনটি \( a-d, a, a+d \)।
যোগফল \( 3a = 12 \implies a = 4 \)
গুণফল \( a(a^{2}-d^{2}) = 28 \implies 4(16-d^{2}) = 28 \implies d^{2} = 9 \implies d = \pm 3 \)
অতএব, মূল তিনটি: 1, 4, 7
যোগফল \( 3a = 12 \implies a = 4 \)
গুণফল \( a(a^{2}-d^{2}) = 28 \implies 4(16-d^{2}) = 28 \implies d^{2} = 9 \implies d = \pm 3 \)
অতএব, মূল তিনটি: 1, 4, 7
ময়মনসিংহ ২৩ | চট্টগ্রাম ১৯
উদ্দীপক: \( x^{3}-7x^{2}+14x-8=0 \)
[খ] মূলগুলো গুণোত্তর প্রগমনে থাকলে মূলগুলো সমাধান করো।
সমাধান: ধরি মূল তিনটি \( \frac{a}{r}, a, ar \)।
গুণফল \( a^{3} = 8 \implies a = 2 \)
যোগফল \( \frac{2}{r}+2+2r = 7 \implies 2r^{2}-5r+2=0 \implies r = 2 \) অথবা \( \frac{1}{2} \)
অতএব, মূল তিনটি: 1, 2, 4
গুণফল \( a^{3} = 8 \implies a = 2 \)
যোগফল \( \frac{2}{r}+2+2r = 7 \implies 2r^{2}-5r+2=0 \implies r = 2 \) অথবা \( \frac{1}{2} \)
অতএব, মূল তিনটি: 1, 2, 4
ঢাকা ২১ | রাজশাহী ১৭ | সিলেট ২১
উদ্দীপক: একটি বহুঘাত সমীকরণের দুটি মূল \( 2+i\sqrt{3} \) এবং \( 1-\sqrt{2} \)।
[গ] উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের সাহায্যে সর্বনিম্ন ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণটি গঠন করো (যার সহগসমূহ মূলদ)।
সমাধান: সহগ মূলদ হওয়ায় অনুবন্ধী মূলগুলোও উপস্থিত থাকবে: \( 2-i\sqrt{3} \) এবং \( 1+\sqrt{2} \)।
জটিল জোড়ার উৎপাদক: \( x^{2}-4x+7 = 0 \)
অমূলদ জোড়ার উৎপাদক: \( x^{2}-2x-1 = 0 \)
গঠিত সমীকরণ: \( (x^{2}-4x+7)(x^{2}-2x-1) = 0 \)
\( \implies x^{4}-6x^{3}+14x^{2}-10x-7=0 \)
জটিল জোড়ার উৎপাদক: \( x^{2}-4x+7 = 0 \)
অমূলদ জোড়ার উৎপাদক: \( x^{2}-2x-1 = 0 \)
গঠিত সমীকরণ: \( (x^{2}-4x+7)(x^{2}-2x-1) = 0 \)
\( \implies x^{4}-6x^{3}+14x^{2}-10x-7=0 \)
দিনাজপুর ২৩ | বরিশাল ১৮
উদ্দীপক: \( f(x)=x^{4}-2x^{3}+6x^{2}-22x+13 \)
[গ] \( f(x)=0 \) এর একটি মূল \( 2-i\sqrt{3} \) হলে অপর মূলগুলো নির্ণয় করো।
পদ্ধতি: বাস্তব সহগ হওয়ায় অপর একটি মূল \( 2+i\sqrt{3} \)।
দ্বিঘাত উৎপাদক: \( (x-2)^{2}+3 = x^{2}-4x+7 \)
প্রদত্ত \( f(x) \) কে \( x^{2}-4x+7 \) দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফল সমীকরণ থেকে বাকি মূল দুটি পাওয়া যাবে।
দ্বিঘাত উৎপাদক: \( (x-2)^{2}+3 = x^{2}-4x+7 \)
প্রদত্ত \( f(x) \) কে \( x^{2}-4x+7 \) দ্বারা ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফল সমীকরণ থেকে বাকি মূল দুটি পাওয়া যাবে।
নোট: মূল প্রশ্নপত্রে ভাগশেষ শূন্য না আসলে উদ্দীপকের সহগে সামান্য অমিল রয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয়।
কুমিল্লা ১৯ | যশোর ১৭
উদ্দীপক: \( x^{3}+px^{2}+qx+r=0 \) সমীকরণের মূলত্রয় \( \alpha, \beta, \gamma \)।
[খ] \( \frac{1}{\alpha\beta}, \frac{1}{\beta\gamma}, \frac{1}{\gamma\alpha} \) মূলবিশিষ্ট নতুন ত্রিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
সমাধান:
আমরা জানি, \( \alpha\beta\gamma = -r \implies \frac{1}{\alpha\beta} = -\frac{\gamma}{r} \)
ধরি নতুন সমীকরণের মূল \( y = -\frac{x}{r} \implies x = -ry \)
মূল সমীকরণে \( x = -ry \) বসিয়ে পাই:
\( (-ry)^{3}+p(-ry)^{2}+q(-ry)+r = 0 \)
\( \implies -r^{3}y^{3}+pr^{2}y^{2}-qry+r = 0 \)
\( (-r) \) দ্বারা ভাগ করে:
\( r^{2}x^{3}-pr\,x^{2}+q\,x-1=0 \)
আমরা জানি, \( \alpha\beta\gamma = -r \implies \frac{1}{\alpha\beta} = -\frac{\gamma}{r} \)
ধরি নতুন সমীকরণের মূল \( y = -\frac{x}{r} \implies x = -ry \)
মূল সমীকরণে \( x = -ry \) বসিয়ে পাই:
\( (-ry)^{3}+p(-ry)^{2}+q(-ry)+r = 0 \)
\( \implies -r^{3}y^{3}+pr^{2}y^{2}-qry+r = 0 \)
\( (-r) \) দ্বারা ভাগ করে:
\( r^{2}x^{3}-pr\,x^{2}+q\,x-1=0 \)
0 মন্তব্যসমূহ