HSC Higher Math: দ্বিঘাত ও ত্রিঘাত সমীকরনের সমাধান

সমীকরণ তত্ত্ব (Theory of Equation)

সমীকরণ তত্ত্ব বা Theory of Equation এর মূল কথা হলো, একটি সমীকরণের চলকের সর্বোচ্চ ঘাত (Power) যত হবে, সমীকরণটির ততগুলো মূল (Root) থাকবে।

কাজেই \(ax^2 + bx + c = 0\) আকারের দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল বিদ্যমান থাকবে।

\(ax^2 + bx + c = 0\) এর সাধারণ সমাধান:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \] \[ \Rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \] \[ \Rightarrow x^2 + 2 \cdot \frac{b}{2a} \cdot x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0 \] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ \Rightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

অতএব, মূল দুটি হল

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

অর্থাৎ সমীকরণটির সাধারণ সমাধানে দুটি মূল বিদ্যমান।

---

নিশ্চায়ক বা Discriminant

\(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের সাধারণ সমাধানে \(b^2 - 4ac\) কে নিশ্চায়ক বা Discriminant বলে।

\(b^2 - 4ac\) এর প্রকৃতির উপর সমীকরণের মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে।

• # \(b^2 - 4ac > 0\) হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
• # \(b^2 - 4ac = 0\) হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• # \(b^2 - 4ac < 0\) হলে মূলদ্বয় জটিল ও অনুবন্ধী।
• # \(b^2 - 4ac\) পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ।

---

\(ax^2 + bx + c = 0\) সমীকরণের মূল ও সহগের সম্পর্ক

মনে করি, সমীকরণটির মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)।

যেখানে,

\[ \alpha = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ \beta = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

তাহলে,

\[ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \] \[ \alpha\beta = \frac{c}{a} \]

গুরুত্বপূর্ণ নোটসমূহ:

• সমীকরণের জটিল মূলগুলো সব সময় জোড়ায় জোড়ায় থাকে। অর্থাৎ \(a + ib\) কোনো সমীকরণের মূল হলে \(a - ib\) অবশ্যই তার মূল হবে।
• তদ্ব্যতীত, \(a + \sqrt{b}\) আকারের কোনো অমূলদ সংখ্যা যদি একটি সমীকরণের মূল হয়, তাহলে \(a - \sqrt{b}\) তার মূল হবে।

দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন:

কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে সমীকরণটি হবে

\[ (x - \alpha)(x - \beta) = 0 \]

সাধারণ মূল:

দুটি সমীকরণের সাধারণ মূল থাকলে ঐ সাধারণ মূলকে \(\alpha\) ধরে যাবতীয ক্যালকুলেশন শেষ করতে হবে।

---

ত্রিঘাত সমীকরণের প্রতিসম রাশির মান নির্ণয়

\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \beta, \gamma\) হলে

\[ \alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} \] \[ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a} \] \[ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} \]