চতুর্থ অধ্যায়: বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র | বিগত ১০ বছরের এইচএসসি বোর্ড পরীক্ষার সম্পূর্ণ ‘খ’ এবং ‘গ’ ভিত্তিক গাণিতিক প্রশ্ন সংকলন
৫টি প্রশ্ন টাইপ এক নজরে
| টাইপ | বিষয়বস্তু | প্রশ্ন সংখ্যা |
|---|---|---|
| ১ | দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি, নিশ্চায়ক ও সহগের সম্পর্ক | ৪টি প্রশ্ন |
| ২ | মূলদ্বয়ের অনুপাত, বর্গ ও বিশেষ বীজগাণিতিক সম্পর্ক | ৫টি প্রশ্ন |
| ৩ | সাধারণ মূল (Common Root) সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা | ৪টি প্রশ্ন |
| ৪ | নতুন সমীকরণ গঠন (Transformation of Equations) | ৩টি প্রশ্ন |
| ৫ | ত্রিঘাত ও চতুর্ঘাত সমীকরণ এবং জটিল/অমূলদ মূল | ৭টি প্রশ্ন |
টাইপ ১: দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি, নিশ্চায়ক ও সহগের সম্পর্ক
ঢাকা বোর্ড ২৩ | সিলেট বোর্ড ২১ | দিনাজপুর বোর্ড ১৭
উদ্দীপক: \( f(x) = (a+b-c)x^2 + 2bx + (b+c-a) \)
[খ] \( a, b, c \) মূলদ হলে প্রমাণ করো যে, \( f(x) = 0 \) সমীকরণের মূলগুলো সর্বদা মূলদ হবে।
রাজশাহী বোর্ড ২৩ | কুমিল্লা বোর্ড ২২ | বরিশাল বোর্ড ১৯
[খ] প্রমাণ করো যে, \( (x-a)(x-b) = c^2 \) সমীকরণের মূলদ্বয় সর্বদা বাস্তব। \( c \) এর মান কত হলে মূলদ্বয় সমান হবে?
চট্টগ্রাম বোর্ড ২২ | যশোর বোর্ড ২১ | রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ
উদ্দীপক: \( P(x) = (2k+1)x^2 + 2(k+3)x + (2k+5) \)
[গ] \( k \) এর মান কত হলে \( P(x) \) একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে এবং সে ক্ষেত্রে \( P(x) = 0 \) এর মূলদ্বয় নির্ণয় করো।
ময়মনসিংহ বোর্ড ২৩ | কুমিল্লা বোর্ড ১৭
[খ] \( a, b, c \) বাস্তব এবং \( a + b + c = 0 \) হলে, দেখাও যে \( bc\,x^2 + ca\,x + ab = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
টাইপ ২: মূলদ্বয়ের অনুপাত, বর্গ ও বিশেষ বীজগাণিতিক সম্পর্ক
ঢাকা বোর্ড ২২ | বরিশাল বোর্ড ২৩ | চট্টগ্রাম বোর্ড ১৯ | সিলেট বোর্ড ১৫
উদ্দীপক: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)
[খ] \( f(x) = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত \( m : n \) হলে, প্রমাণ করো যে: \( \sqrt{\frac{m}{n}} + \sqrt{\frac{n}{m}} + \frac{b}{\sqrt{ac}} = 0 \)
রাজশাহী বোর্ড ২২ | যশোর বোর্ড ২৩ | দিনাজপুর বোর্ড ১৯
উদ্দীপক: \( g(x) = px^2 + qx + q \)
[গ] \( g(x) = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয়ের অনুপাত \( p : q \) হলে, প্রমাণ করো যে: \( \sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{q}{p}} = 0 \)
কুমিল্লা বোর্ড ২৩ | চট্টগ্রাম বোর্ড ২১ | রাজশাহী বোর্ড ১৫
উদ্দীপক: \( x^2 + px + q = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha \) এবং \( \beta \)।
[গ] সমীকরণটির একটি মূল যদি অপরটির বর্গ হয়, তবে প্রমাণ করো যে: \( p^3 - q(3p - 1) + q^2 = 0 \)।
দিনাজপুর বোর্ড ২৩ | ঢাকা বোর্ড ১৭
[খ] \( ax^2 + bx + c = 0 \) সমীকরণের একটি মূল অপরটির \( n \) গুণ হলে, দেখাও যে, \( n b^2 = a c (1 + n)^2 \)।
বরিশাল বোর্ড ২২ | সিলেট বোর্ড ১৯
উদ্দীপক: \( x^2 - px + q = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \)।
[খ] মূলদ্বয়ের পার্থক্য 1 হলে, প্রমাণ করো যে, \( p^2 - 4q - 1 = 0 \)।
টাইপ ৩: সাধারণ মূল (Common Root) সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা
ঢাকা বোর্ড ২১ | যশোর বোর্ড ২২ | বরিশাল বোর্ড ১৭ | সকল বোর্ড ১৮
উদ্দীপক: \( x^2 + px + q = 0 \) এবং \( x^2 + qx + p = 0 \) দুটি দ্বিঘাত সমীকরণ (\( p \neq q \))।
[খ] সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, \( p + q + 1 = 0 \)।
[গ] দেখাও যে, সমীকরণদ্বয়ের অপর মূল দুটি দ্বারা গঠিত সমীকরণটি হবে: \( x^2 + x + pq = 0 \)।
চট্টগ্রাম বোর্ড ২৩ | দিনাজপুর বোর্ড ২১ | ময়মনসিংহ বোর্ড ১৯
উদ্দীপক: \( f(x) = ax^2 + bx + c \) এবং \( g(x) = px^2 + qx + r \)
[গ] \( f(x) = 0 \) এবং \( g(x) = 0 \) সমীকরণদ্বয়ের একটি মাত্র সাধারণ মূল থাকলে প্রমাণ করো যে: \( (aq - bp)(br - cq) = (cp - ar)^2 \)
রাজশাহী বোর্ড ২১ | সিলেট বোর্ড ২২ | কুমিল্লা বোর্ড ১৫
[খ] \( ax^2 + bx + c = 0 \) এবং \( cx^2 + bx + a = 0 \; (a \neq c) \) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, \( a + c = \pm b \)।
দিনাজপুর বোর্ড ২২ | ঢাকা বোর্ড ১৫
উদ্দীপক: \( f(x) = ax^2 + bx + c \) এবং \( h(x) = cx^2 + bx + a \)
[গ] \( f(x) = 0 \) এর একটি মূল \( h(x) = 0 \) এর একটি মূলের দ্বিগুণ হলে, প্রমাণ করো যে: \( 2a = c \) অথবা \( (2a + c)^2 = 2b^2 \)।
টাইপ ৪: নতুন সমীকরণ গঠন (Transformation of Equations)
ময়মনসিংহ বোর্ড ২২ | কুমিল্লা বোর্ড ২১ | চট্টগ্রাম বোর্ড ১৭
উদ্দীপক: \( ax^2 + bx + c = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha \) এবং \( \beta \)।
[খ] \( \alpha + \frac{1}{\beta} \) এবং \( \beta + \frac{1}{\alpha} \) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
যশোর বোর্ড ১৯ | সিলেট বোর্ড ২৩
উদ্দীপক: \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha \) ও \( \beta \)।
[গ] \( \alpha^3 \) এবং \( \beta^3 \) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি নির্ণয় করো।
রাজশাহী বোর্ড ১৯ | বরিশাল বোর্ড ২১
উদ্দীপক: \( x^2 - px + q = 0 \) এর মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \)।
[খ] \( (\alpha + \beta)^2 \) এবং \( (\alpha - \beta)^2 \) মূল বিশিষ্ট নতুন দ্বিঘাত সমীকরণটি গঠন করো।
টাইপ ৫: ত্রিঘাত ও চতুর্ঘাত সমীকরণ এবং জটিল/অমূলদ মূল
ঢাকা বোর্ড ২৩ | রাজশাহী বোর্ড ২২ | চট্টগ্রাম বোর্ড ১৫
উদ্দীপক: \( P(x) = x^3 - px^2 + qx - r \)
[গ] \( P(x) = 0 \) সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগতিতে (Arithmetic Progression) থাকলে প্রমাণ করো যে: \( 2p^3 - 9pq + 27r = 0 \)
কুমিল্লা বোর্ড ২২ | বরিশাল বোর্ড ২৩ | সিলেট বোর্ড ১৭
উদ্দীপক: \( f(x) = 2x^3 - px^2 + qx - r \)
[গ] \( f(x) = 0 \) সমীকরণের দুটি মূলের যোগফল শূন্য হলে, প্রমাণ করো যে: \( pq = 2r \)।
যশোর বোর্ড ২২ | দিনাজপুর বোর্ড ১৯
উদ্দীপক: \( x^3 - 12x^2 + 39x - 28 = 0 \) একটি ত্রিঘাত সমীকরণ।
[গ] সমীকরণটির মূলগুলো সমান্তর প্রগতিতে থাকলে, মূল তিনটি নির্ণয় করো।
ময়মনসিংহ বোর্ড ২৩ | চট্টগ্রাম বোর্ড ১৯
উদ্দীপক: \( x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0 \)
[খ] সমীকরণটির মূলগুলো গুণোত্তর প্রগতিতে (Geometric Progression) থাকলে মূলগুলো সমাধান করো।
ঢাকা বোর্ড ২১ | রাজশাহী বোর্ড ১৭ | সিলেট বোর্ড ২১
উদ্দীপক: একটি বহুঘাত সমীকরণের দুটি মূল হলো \( 2 + i\sqrt{3} \) এবং \( 1 - \sqrt{2} \)।
[গ] উদ্দীপকের মূলদ্বয়ের সাহায্যে সর্বনিম্ন ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণটি গঠন করো (যার সহগসমূহ মূলদ)।
দিনাজপুর বোর্ড ২৩ | বরিশাল বোর্ড ১৮
উদ্দীপক: \( f(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 22x + 13 \)
[গ] \( f(x) = 0 \) সমীকরণের একটি মূল \( 2 - i\sqrt{3} \) হলে, অপর মূলগুলো নির্ণয় করো।
কুমিল্লা বোর্ড ১৯ | যশোর বোর্ড ১৭
উদ্দীপক: \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \) সমীকরণের মূলত্রয় \( \alpha, \beta, \gamma \)।
[খ] \( \frac{1}{\alpha\beta}, \frac{1}{\beta\gamma}, \frac{1}{\gamma\alpha} \) মূলবিশিষ্ট নতুন ত্রিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
সারসংক্ষেপ
| ক্রমিক | বিষয়বস্তু | মোট প্রশ্ন |
|---|---|---|
| ১ | মূলের প্রকৃতি ও নিশ্চায়ক | ৪টি প্রশ্ন |
| ২ | মূলদ্বয়ের অনুপাত ও বর্গ | ৫টি প্রশ্ন |
| ৩ | সাধারণ মূল | ৪টি প্রশ্ন |
| ৪ | নতুন সমীকরণ গঠন | ৩টি প্রশ্ন |
| ৫ | ত্রিঘাত, চতুর্ঘাত ও জটিল মূল | ৭টি প্রশ্ন |
0 মন্তব্যসমূহ