লিমিট (Limit) এর ব্যবচ্ছেদ- একটুখানি ক্যালকুলাস

 তুমি উচ্চ মাধ্যমিকের ছাত্র কিন্তু ক্যালকুলাসটাকে দেখার পরে অন্তত রকটিবারের জন্যও বিদঘুটে লাগে নি- এ কথাটা হয়ত কেউই বিশ্বাস করবে না। অনেক সময়ই দেখা যায় একজন গণিতে অনার্স করা ব্যক্তিও ক্যালকুলাসের ভেতরে প্রবেশ করতে পারে না। এর কারন আসলে কি? ক্যালকুলাস কি আসলেই অনেক কঠিন? না কি অন্য কোথাও আমাদের ভুল হচ্ছে যার কারনে সহজ ক্যালকুলাসকে আমাদের কাছে কঠিন মনে হয়? আসলে আমাদের সম্মানিত শিক্ষকরা 'ক্যালকুলাস কি' তা না বুঝিয়েই কযালকুলাসের অংক করানো শুরু করিয়ে দেন। আর এ কারনেই ক্যালকুলাসের অনেক গুরুত্বপূর্ন অংশই শিক্ষার্থীদের কাছে অজানা আর ধরাছোয়ার বাহিরে রয়ে যায়। 

ক্যালকুলাস পড়ার আগে আমরা এর আবিস্কারের পেছনের কাহিনীর দিকে একটু আলোকপাত করতে চাই। আসলে, ক্যালকুলাসের সাথে গভীর সম্পর্ক রয়েছে জ্যামিতির। বহূ প্রাচীনকাল থেকেই জ্যামিতির ধারনা ছিল বাস্তব জীবন নির্ভর তথা প্রাকটিক্যাল। অন্য দিকে বীজগণিতের বিষয়গুলো প্রথমেই এতটা প্রাকটিক্যাল হয়ে উঠতে পারে নি। মূলত মিশরীয় এবং গ্রিক দার্শনিকরা বহূ আগেই জ্যামিতি প্রয়োগ করে অনেক সমস্যার সমাধান করে ফেলেছিল। কিন্তু কিছু কিছু সমস্যার সমাধান করতে গিয়ে তাদের দাত ভেঙ্গে যাচ্ছিল। যেমন, একটা বক্র রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের কশেত্রফল সঠিকভাবে নির্নয় করতে গিয়ে হয়ত টলেমির মত বিখ্যাত দার্শনিকও মাথায় হাত দিয়ে বসে ছিল। মূলত বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আর একটি বক্ররেখার কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্সক নিয়ে আলোচনা করতে গিয়েই ঐ সময়ের বিজ্ঞানীদের ক্যালকুলাসের মত কিছু একটা আবিস্কারের চিন্তা মাথায় আসে। তবে, ঐ সময়ের বিজ্ঞানীরা কিন্তু ক্যালকুলাসের ব্যপারে ষ্পষ্ট কোন ধারণা দিতে পারেন নি। কারন, বীজগণিত প্রয়োগ করে যে জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান করা যায় তা তখনও তাদের জানা ছিল। 

ষোড়শ এবং সপ্তাদশ শতাব্দীতে অভূতপূর্ব এক ঘটনা ঘটে। বিজ্ঞানীরা Analytical Geometry বা স্থানাঙ্ক জ্যামিতি সম্পর্কে ধারনা লাভ করে এবং এর ফলে বীজগণিত আর জ্যামিতিকে একই ছাদের নিচে নিয়ে আসা সম্ভব হয়। একদিন পর্যন্ত যেই বৃত্তকে শুধু পেন্সিল দিয়ে কাগজের উপর আঁকতে হত সেই বৃত্তকে তখনকার বিজ্ঞানীরা  একটি বীজগণিতিক সমীকরনের মাধ্যমে প্রকাশ করতে সক্ষম হয়। গণিতের এসব ঘটনাই ক্যালকুলাসের আবিস্কারকে আরও সহজ করে দেয়।

যাহোক, এতকিছু নিয়ে আলোচনার কোন প্রয়োজন নেই আমাদের। আসলে, আজ আমরা শুধু লিমিট সম্পর্কেই জানব। এরপর ক্যালকুলাসের বড় দুটি শাখা অন্তরীকরন এবং যোগজীকরন সম্পর্কে জানব। এর আগে অবশ্য একটি লেখায় এবং ভিডিওতে ফাংশন সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। এখানে আমরা এমন কিছু ফাংশন দেখব যাদের মান আমরা প্রচলিত কোন নিয়মে বের করতে পারি না। যেমন, f(x) = x^2 - 16/x-4 এ ফাংশনটির জন্য যখন x এর মান 4 হয় তখন ফাংশনের মানটি আমরা আর নির্নয় করতে পারি না। অথচ লবকে উতপাদকে বিশ্লেষন করে হরের সাথে কাটাকাটি করলে কিন্তু ঠিকই মান বের করা যায়। কিন্তু এ কাজটি করার আগের সত্যই হল, x=4 এর জন্য ফাংশনটি সঙ্গায়িত নয়। এরকম অনেক ফাংশন আছে যেগুলোর মান আমরা স্বাভাবিকভাবে বের করতে পারি না। এই ধরনের ফাংশনগুলোর মান বের করার জন্য আমাদের একটা কাজ করতে হয়। উপরের ফাংশনটির কথাই চিন্তা করি। x=4 এর জন্য ফাংশনটি সঙ্গায়িত না হলেও x=3.8 কিংবা 3.9 এর জন্য কিন্তু সঙ্গায়িত। এভাবে যদি আমরা 3.9, 3.99, 3.999, 3.999999...... করে ধীরে ধীরে আমরা 4 এর দিকে অগ্রসর হতে থাকি তাহলে দেখব ফাংশনের মানটিও একটা নির্দিষ্ট মানের দিকে অগ্রসর হচ্ছে। ফাংশনের মান যখন নির্দিষ্ট কোন মানের খুব কাছাকাছি পৌছায় তখনই ফাংশনের ঐ মানটিকে বলে সীমান্তিক মান বা Limiting value এবং যে মান বসিয়ে ফাংশনের লিমিটিং ভ্যালু পাওয়া যায় তাকে বলে লিমিট বা সীমা।